Роберт Фишер родился 9 марта 1943 года в Чикаго. Отец - немец, мать - швейцарская еврейка. Когда мальчику было два года, отец оставил семью, вернувшись в Германию, а мать с детьми переехала в Бруклин. В шесть лет сестра научила Роберта играть в шахматы, а в 15 с половиной он уже стал самым молодым в истории шахмат гроссмейстером, побив рекорд Бориса Спасского.
В шахматы начал играть с шести лет, с 12 лет выступал в турнирах мастеров. Уже в 13 лет он завоевал титул чемпиона США среди юниоров. В 14 лет стал самым молодым чемпионом в истории США, не проиграв ни одной партии, а в 15 лет – самым молодым в истории шахмат гроссмейстером, побив предыдущий рекорд Бориса Спасского. В 1957-1967 годах Фишер – восьмикратный чемпион США.
После неудачи в турнире претендентов 1962 года он на несколько лет отказался от участия в соревнованиях на первенство мира. Во второй половине 1960 годов выдвинулся в число сильнейших шахматистов, добиваясь успехов в турнирах самого высокого ранга. В 1972 году он завоевал титул чемпиона мира по шахматам, обыграв Спасского в матче за шахматную корону в Рейкьявике.
Фишер известен своим скандальным поведением. Во время соревнований он неоднократно нарушал регламент и предъявлял организаторам резкие и зачастую экстравагантные требования.
В 1975 году, после того, как организаторы отказались выполнить одно из выдвинутых Фишером условий, он отказался принять участие в матче за чемпионский титул с Анатолием Карповым. 3 апреля 1975 года Фишер был лишен звания чемпиона мира и перестал участвовать в международных турнирах.
Власти США обвиняли Фишера в нарушении санкций против бывшей Югославии. В 1992 году он принял участие в состоявшемся в этой стране матче против своего давнего соперника Спасского и выиграл призовой фонд в размере свыше 3,3 миллиона долларов. За это в США ему грозили тюремное заключение сроком до 10 лет и денежный штраф в размере $250 тысяч.
Последние годы Фишер скрывался от американского правосудия в Японии. Однако в июле 2004 года он был арестован в международном аэропорту Токио при попытке выехать из страны по аннулированному властями США американскому паспорту.
Японские власти согласились освободить Фишера после того, как тот отказался от американского гражданства и получил гражданство Исландии.