Роман Акбашев начал заниматься футболом в школе "Содовика" в родном Стерлитамаке. На профессиональном уровне дебютировал в кировском "Динамо", затем играл за КАМАЗ, курский "Авангард", астраханский "Волгарь" и "Нефтехимик" из Нижнекамска. На уровне Премьер-лиги выступал за казанский "Рубин". Перешел в "Факел" в межсезонье-2020.