Евгений Весник родился в Петрограде, (ныне — Санкт-Петербург), 15 января 1923 года, в семье Якова Ильича и Евгении Эммануиловны Весник. Затем семья перебралась в Кривой Рог.
Отец Евгения Весника — Яков Весник — был видным деятелем советской промышленности и личным другом Г. К. Орджоникидзе; в 1930-х годах был начальником строительства и первым директором завода "Криворожсталь". После загадочной смерти Орджоникидзе (18 февраля 1937) последовала расправа с родственниками и знакомыми наркома. Я. И. Весник был арестован 10 июля 1937 и вскоре расстрелян (17 ноября); его жена была отправлена в ссылку в Казахстан, а сын помещён в детский дом. Мать (в девичестве Евгения Немечек) имела чешские корни, познакомилась с будущим мужем в качестве лечащей медсестры, когда тот находился в госпитале после ранения.
В 1941—1945 годах Евгений Весник в качестве добровольца участвовал в Великой Отечественной войне, командир огневого взвода 1-й гвардейской корпусной артиллерийской бригады, гвардии младший лейтенант. Был награждён двумя медалями "За отвагу", орденами Красной Звезды и Отечественной войны 2 степени, медалями "За победу над Германией" и последующими юбилейными медалями.
В 1948 году окончил Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина и был принят в драматический театр им. К. С. Станиславского.
В 1954 году Весник уходит в театр Сатиры. С 1963 года по 1992 год он играл в труппе Малого театра.
Кинодебют состоялся в 1955 году. Кроме актёрской работы, в биографии Евгения Весника были режиссёрские работы в театре. Также он написал ряд сценариев для радио и телевидения.
Евгений Яковлевич состоял в Союзе кинематографистов, Союзе театральных деятелей, Союзе писателей.
В последние годы у Евгения Весника были проблемы со здоровьем. В 2005 году он перенёс пневмонию, а 7 апреля 2009 года у него случился инсульт. Через три дня артист скончался в больнице. Похоронен 14 апреля на Троекуровском кладбище в Москве.